Pārcel leņķus uz vienu virsotni
Taisne caur B ir paralēla AC.
- Pie B tagad ir trīs leņķi kopā.
- Tie veido izstieptu leņķi - 180°.
- Un tie ir tieši trijstūra trīs leņķi.
Pierādījums soli pa solim
Pierādījuma ideja
Caur virsotni B novelk taisni k, paralēlu AC. Pie B izveidojas izstiepts leņķis, ko sastāda trīs leņķi: viens ir ∠2, pārējie divi ir vienādi ar ∠1 un ∠3 kā iekšējie šķērsleņķi.
- Dots: △ABC. Jāpierāda: ∠1 + ∠2 + ∠3 = 180°.
- Konstrukcija: k ∥ AC caur B.
- Leņķi pie B uz taisnes k veido 180°.
- Aizstāj malējos ar ∠1 un ∠3.
Papildu līnija («palīgkonstrukcija») ir pierādījumu galvenais triks - tā pārvērš jaunu uzdevumu par zināmu.
Pieraksts
Pierādi, ka trijstūra ABC leņķu summa ir 180°.
Caur B novelkam k ∥ AC
(konstrukcija)
Leņķis starp k un BA = ∠1
(iekšējie šķērsleņķi, k ∥ AC)
Leņķis starp BC un k = ∠3
(iekšējie šķērsleņķi, k ∥ AC)
∠1 + ∠2 + ∠3 = 180°
(veido izstieptu leņķi)
Atbilde: Teorēma pierādīta.
Pierādījuma soļi
Uz sfēras - citādi!
Kosmoss un attālumi
Lidmašīnu maršruti ir trijstūri uz sfēras, un tur leņķu summa ir lielāka par 180°.
Teorēma balstās uz paralēlu taišņu aksiomu.
Tagad es protu
- Pierādu leņķu summas teorēmu ar paralēlu taisni.
- Lietoju iekšējos šķērsleņķus.
- Zinu, kas ir palīgkonstrukcija.
- Zinu, ka teorēma der plaknē.
Pamēģini mājās
- Uzraksti pierādījumu no atmiņas.
- Pierādi citādi: novelc paralēlu taisni caur C.
- Uzzīmē uz bumbas trijstūri ar trim taisniem leņķiem.